奖励模型的初始化、损失计算与训练流程¶

1. 奖励模型的初始化¶

奖励模型的初始化是确保模型具备良好性能的基础步骤。常见的初始化方法包括使用预训练模型和随机初始化。以下详细描述使用预训练模型进行初始化的数学过程：

1.1 使用预训练模型初始化¶

假设我们选择一个预训练语言模型，其参数为 $\theta_{\text{pre}}$。奖励模型将在此基础上进行调整，以适应评分任务。

加载预训练权重

将预训练模型的参数作为奖励模型的初始参数：

$$ \theta_{\text{RM}}^{(0)} = \theta_{\text{pre}} $$

调整模型架构

根据评分任务的需求，通常需要在预训练模型的基础上添加一个线性层，将模型的输出映射到一个实数评分。例如，若预训练模型的隐藏层输出维度为 $d$，则线性层的参数为 $W \in \mathbb{R}^{1 \times d}$ 和偏置 $b \in \mathbb{R}$。奖励函数表示为：

$$ R(x, y; \theta_{\text{RM}}) = W \cdot \text{Model}(x, y; \theta_{\text{pre}}) + b $$

其中，$\text{Model}(x, y; \theta_{\text{pre}})$ 表示输入 $x$ 和候选答案 $y$ 通过预训练模型得到的隐藏表示。

2. 损失函数的计算¶

奖励模型的训练目标是使其评分能够准确反映人类的偏好。常用的损失函数是**交叉熵损失**，用于最大化最佳答案的相对概率。

2.1 概率分布的构建¶

给定输入 $x$ 和候选答案集合 $\{y_i\}_{i=1}^K$，奖励模型为每个候选答案 $y_i$ 生成评分 $R(x, y_i; \theta_{\text{RM}})$。通过Softmax函数将评分转化为概率分布：

\[ P(y_i \mid x) = \frac{e^{R(x, y_i; \theta_{\text{RM}})}}{\sum_{j=1}^{K} e^{R(x, y_j; \theta_{\text{RM}})}} \]

2.2 交叉熵损失函数¶

假设在每个样本中，人类标注的最佳答案为 $y_b$。交叉熵损失函数定义为：

\[ L = -\log P(y_b \mid x) = -\log \left( \frac{e^{R(x, y_b; \theta_{\text{RM}})}}{\sum_{j=1}^{K} e^{R(x, y_j; \theta_{\text{RM}})}} \right) \]

2.3 经验风险近似¶

在实际训练中，使用有限的训练数据集进行经验风险最小化。假设训练集包含 $N$ 个样本，每个样本对应 $K_n$ 个候选答案，最佳答案索引为 $b_n$。经验损失函数表示为：

\[ L_{\text{empirical}} = -\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \log \left( \frac{e^{R(x_n, y_{b_n}; \theta_{\text{RM}})}}{\sum_{i=1}^{K_n} e^{R(x_n, y_i^n; \theta_{\text{RM}})}} \right) \]

2.4 梯度计算¶

对经验损失函数 $L_{\text{empirical}}$ 关于模型参数 $\theta_{\text{RM}}$ 的梯度为：

\[ \nabla_{\theta_{\text{RM}}} L_{\text{empirical}} = -\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \left[ \nabla_{\theta_{\text{RM}}} R(x_n, y_{b_n}; \theta_{\text{RM}}) - \sum_{i=1}^{K_n} P(y_i^n \mid x_n) \nabla_{\theta_{\text{RM}}} R(x_n, y_i^n; \theta_{\text{RM}}) \right] \]

3. 训练流程¶

奖励模型的训练流程包括数据准备、前向传播、损失计算、反向传播与参数更新。以下是具体的数学描述：

3.1 数据准备¶

每个训练样本由输入 $x_n$，候选答案集合 $\{y_i^n\}_{i=1}^{K_n}$ 和最佳答案索引 $b_n$ 组成。训练集表示为：

\[ D = \{ (x_n, \{y_i^n\}_{i=1}^{K_n}, b_n) \}_{n=1}^{N} \]

3.2 前向传播¶

对于每个样本 $n$ 和其候选答案 $y_i^n$，计算奖励分数：

\[ R(x_n, y_i^n; \theta_{\text{RM}}) \]

将奖励分数转化为概率分布：

\[ P(y_i^n \mid x_n) = \frac{e^{R(x_n, y_i^n; \theta_{\text{RM}})}}{\sum_{j=1}^{K_n} e^{R(x_n, y_j^n; \theta_{\text{RM}})}} \]

3.3 损失计算¶

计算经验损失函数：

\[ L_{\text{empirical}} = -\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \log \left( \frac{e^{R(x_n, y_{b_n}; \theta_{\text{RM}})}}{\sum_{i=1}^{K_n} e^{R(x_n, y_i^n; \theta_{\text{RM}})}} \right) \]

3.4 反向传播与参数更新¶

通过计算损失函数 $L_{\text{empirical}}$ 相对于参数 $\theta_{\text{RM}}$ 的梯度 $\nabla_{\theta_{\text{RM}}} L_{\text{empirical}}$，使用梯度下降法更新参数：

\[ \theta_{\text{RM}} \leftarrow \theta_{\text{RM}} - \eta \cdot \nabla_{\theta_{\text{RM}}} L_{\text{empirical}} \]

其中，$\eta$ 为学习率。

3.5 迭代训练¶

重复执行前向传播、损失计算、反向传播与参数更新的步骤，直到满足终止条件（如达到预设的训练轮数或损失收敛）。

4. 总结¶

奖励模型在RLHF中的初始化、损失计算和训练流程如下：

初始化：
使用预训练模型的参数 $\theta_{\text{pre}}$ 作为奖励模型的初始参数 $\theta_{\text{RM}}^{(0)} = \theta_{\text{pre}}$。
调整模型架构以适应评分任务，如添加线性层。
损失计算：
构建概率分布 $P(y_i \mid x)$ 通过Softmax函数。
定义交叉熵损失函数 $L_{\text{empirical}}$，最大化最佳答案的相对概率。
计算梯度 $\nabla_{\theta_{\text{RM}}} L_{\text{empirical}}$ 以指导参数更新。
训练流程：
准备包含输入、候选答案和最佳答案的数据集。
通过前向传播计算奖励分数和概率分布。
计算损失并通过反向传播更新模型参数。
迭代执行上述步骤，直至模型收敛。